Как построить график функции y=|x|x+|x|-3x?
Летом мне предстоит сдавать ОГЭ, если попадется подобное (задание 23), как оформить''математически грамотно и ясно''? Что писать, какие клише есть?
У автора прозвучало два вопроса: "Как построить график заданной функции и как вообще строить такие графики?"
Поскольку на первый вопрос уже есть ответы, то ограничусь только картинкой графика.
Я немного видоизменю формулу и на ее примере попробую подробно рассказать о методе работы с модулями. А также постараюсь рассказать о других вариантах.
Поскольку модуль при различных Х, ведет себя по разному и решать уравнения с модулями нельзя, то те части уравнения где присутствует модуль переменной, заменяют на обыкновенные иксы. Но при этом альтернативная замена должна при расчете давать такое же значение как и модульная часть.
Предположим у нас такое уравнение:
Здесь под модулем только переменная Х, поэтому мы может разделить координатную ось на две части, та что слева от оси Y (отрицательная) и на ту что справа (положительная). Следовательно для каждой половинки будет свое уравнение.
В данном задании придется подставлять в формулы численные значения Х, поэтому что бы было
проще, понятней и меньше писать, я обозначу уравнения как функции.
N(х)- это Начальное уравнение
L(х)- это уравнение Левой части
P(х)- это уравнение Правой части
S(x)- уравнение Средней части
Рассмотрим, как более простую, правую часть. Здесь иксы всегда положительные, а значит модуль ничего не делает и его можно упустить.
Перейдем к левой части. Не поленимся и заключим в скобки выражения где есть |Х|.Все коэффициенты и знаки вынесем за скобку. В отрицательной зоне модуль Х заменяется на "-Х". Так как при подстановке любого отрицательного числа получится равенство.|Х|=-Х. Например подставим "-2". получим|-2|=-(-2)=2
В результате получили два простеньких квадратных уравнения. Квадратные уравнения решаются по теореме Виета, но в нашем случае это можно сделать в уме. Рассмотрим P(х).
Ось этой параболы будет находиться посередине между корнями. Значит Х оси равен 1. Подставим это значение в формулу.
Значит координаты вершины параболы А(1;2)
Аналогично рассматриваем левое уравнение L(х)
Ось этой параболы по Х равна"1.5"
Координаты вершины параболы В(1.5;-4.5)
Теперь остается навести нужные части.
Вы обратили внимание, что в точке перехода между зонами есть излом. Это не всегда так. Переход может быть и плавным, и со скачком и, уходить в бесконечность, и могут быть не определенные точки. Например:
Понятно, что Х разделить на Х всегда равен 1, но вот с каким знаком, кроме того появляются неопределенные точки.
Поэтому если в уравнении есть структура |Х|/Х или Х/|Х|, то всегда будет скачок.
Структура 1/|Х| Всегда приведет к бесконечности. Например:
А вот что будет если под модулем будет хотя бы простенькое выражение?
Наши выражения добавят точки излома и еще одну зону между осью Y и этой точкой. Назовем ее средней (S(x)). Может показаться, что на предыдущей картинке ее нет. Но это дело случая, а точнее формулы.
Следует понимать, что от вида выражений зависит, в положительной или отрицательной зонах будет точка излома.
Так для выражений |X-a| и |a-X| точка излома будет в правой части, а для выражений |x+a| и |-X-a| в левой. А также каждый подобный модуль прибавит еще одну точку излома и зону.
Рассмотрим страшное выражение и определим точки излома. И конечно будет еще одна точка х=0
Разобьем нашу ось на зоны и выберем в каждой зоне проверочную точку.
Теперь рассмотрим зоны L, S1, S2. В этих зонах Х будет отрицательным, а значит что мы |Х| заменим на "-Х". А вот скобки придется анализировать. Что бы получить одинаковое численное значение под модулем и в нашей замене, математические выражения должны совпадать, но вот со знаком мы можем не угадать.
Зона L
Предположим что в зоне L формула совпадает с N(х)
Подставим вместо Х значение контрольной точки зоны L, то есть Х=-7
В скобочках получим значения -4;-9;1 Это значит что математическое выражение в третьей скобке правильное. А вот в первой и второй, перед скобкой нужно поставить знак минус, что бы изменить отрицательные значения на положительные. Ведь модуль может дать нам только положительное значение. Для этого меняем в скобке у всех членов знаки на противоположные. Получим следующее.
Уравнение в этой зоне получилось очень простое. Это прямая линия параллельная оси Х и проходящяя через точку Y=1
Зона S1
Контрольная точка Х=-4
Зона S2
Контрольная точка Х=-1
Зоны с положительными иксами S3 и P. Меняем |Х| на Х
Зона S3
Контрольная точка Х=1
Зона P
Контрольная точка Х=3
Все, строим графики функций.
Теперь остается лишь правильно навести.
Примерно по такой схеме строятся графики функций с модулями.
Но следует помнить, что для более сложных функций нельзя путать модуль функции с модулем ее аргумента.