Методические указания по дисциплине геометрии для 10 класса

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Свойства параллельных прямых

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Практическая часть.

Задание№1. Ответить на вопросы:

Две прямые пересекаются. Что это значит?

Две прямые называются скрещивающимися, если .

Две прямые в пространстве называются параллельными, если .

Прямая а , параллельная прямой b , пересекает плоскость α . Прямая с параллельна прямой b , тогда:

Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b ?

Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?

Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания:

1) Прямые СD и MN скрещивающиеся.

2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости.

3) Прямые СD и MN пересекаются.

4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся.

Задание №3. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Контрольные вопросы:

Что называется пересекающимися прямыми?

Что называется скрещивающимися прямыми?

Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Виды расположения прямых.

Тема: Признак скрещивающихся прямых.

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Определение. Две прямые называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Практическая часть.

Задание №1. Определите взаимное расположение прямых и a и b .

Задание №2. Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда. Найдите параллельные прямые.

Задание №3. Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых и a и b .

Задание №3. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Контрольные вопросы:

Что называется пересекающимися прямыми?

Что называется скрещивающимися прямыми?

Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Взаимное расположение в плоскости.

Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

Выводы. Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;

в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Практическая часть.

Дан треугольник ABC. На сторонах AB и AC соответственно отложены точки D и E так, что DE=7 см и ADBD=94. Через точки B и C проведена плоскость α, которая параллельна отрезку DE.

Основание AB трапеции ABCD лежит в плоскости α. Основание CD не лежит в этой плоскости.

Дополни данные предложения, которые характеризуют взаимное расположение данных прямых и плоскости α.

1. Tак как прямая DB имеет общую точку с данной плоскостью, то эта прямая α

2. Прямая CD параллельна прямой AB в данной плоскости, значит онаα

Задание№3. Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости.

1. Прямая AA1 и плоскость (BCD) :

2. Прямая BC и плоскость (ABC) :

3. Прямая CC1 и плоскость (ABD) :

4. Прямая CB1 и плоскость (BB1C1) :

5. Прямая AB1 и плоскость (BCD) :

Задание №4. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Контрольные вопросы:

Когда называются прямая и плоскость прямыми?

Назовите случаи взаимного расположения прямой и плоскости.

Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Определите взаимное расположение стороны куба.

Тема: Признаки параллельности прямой и плоскости.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )

Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Практическая часть.

Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости.

Прямая DD1 и плоскость (ADD1):

Прямая LP и плоскость (CDD1):

Прямая XY и плоскость (ABC):

Прямая DC и плоскость (AA1B):

Прямая MS и плоскость (ABB1):

Точки M, N, P и Q являются соответственно серединами отрезков AD, CD, BC и AB.

Вычислите периметр четырёхугольника MNPQ, если AC= 11 см и BD= 17 см.

Ответ: периметр четырехугольника MNPQ равен см.

Трапеция ABCD, основание BC которой равно 24cм, лежит в плоскости α. Точка M не находится в плоскости трапеции. Точка Kделит отрезок MB так, чтоMK:KB=1:4. Плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке N. Определи длину отрезка KN.

1. Назови пучок параллельных прямых: ∥

2. Назови подобные треугольники: ΔKMN

3. KN= ( округли до одной десятой ).

Задание №4. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Контрольные вопросы:

Когда называются прямая и плоскость прямыми?

Назовите случаи взаимного расположения прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости.

Задание СРС: Определите взаимное расположение стороны октаэдра.

Тема: Взаимное расположение двух плоскостей.

|| . Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей.

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Случаи взаимного расположения плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей: Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажи, что прямая DC параллельна плоскости (AMB).

(Дополни доказательство нужными словами или выражениями из списка).

1. Прямые DC и AB как противоположные стороныпрямоугольника.

2. Прямая AB лежит в плоскости (AMB), так как две её точки A и B

3. Если прямая прямой, которая находится в некоторой плоскости, то она этой плоскости.

4. Значит прямая DC плоскости (AMB).

Задание №3. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Контрольные вопросы:

Что называется пересекающимися прямыми?

Что называется скрещивающимися прямыми?

Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Виды расположения прямых.

Тема: Признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Используя данный куб

1. определи взаимное расположение плоскостей AA1B1 и DD1C1

2. назови плоскость параллельную DCB

Будут ли параллельны плоскости, проведённые через две скрещивающиеся прямые d и c?

Боковые стороны CD и AB трапеции ADCB параллельны плоскости α. Каковыми являются плоскости α и плоскость трапеции ADCB?

Даны три параллельные плоскости α, β и γ. В каждой из них соответственно проведены прямые a, b и c.

Угол между прямыми a и b равен 600, угол между прямыми b и c равен 570. Определи угол между прямыми a и c.

Задание №4. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Контрольные вопросы:

Что называется параллельными плоскостями?

Что называется признаки параллельности плоскостей.

Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Доказать параллельности плоскостей.

Тема: Свойства параллельных плоскостей.

Проверка домашнего задания.

1. Параллельность плоскостей.

1) Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

2) Теорема ( признак параллельности плоскостей ).

Закрепление новых знаний.

Работа в группах. Класс разбивается на четыре группы. Выбираем консультанта в каждой группе. Группам раздаются пакеты с заданиями (пять заданий), листы учёта активности учащихся, чистые листы.

Установить правильную последовательность действий в доказательстве признака параллельности плоскостей.

Ответ: 12, 10, 8, 2, 4, 9, 7, 1, 6, 5, 3.11.

Свои ответы группы обсуждают, результат пишут на листе и вывешивают на доске. Затем вывесить верный ответ и сравнить. Консультанты групп, ответивших верно, ставят каждому члену команды в лист активности “+”.

Установить правильную последовательность действий в доказательстве четвёртого свойства параллельности плоскостей.

Ответ: 5, 4, 3, 1, 2.

Установить правильную последовательность действий в доказательстве пятого свойства параллельности плоскостей.

Задание 4. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Контрольные вопросы:

Что называется параллельными плоскостями?

Признак параллельности плоскостей.

Задание СРС: Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Тема: Свойства параллельных плоскостей.

I свойство (единственность параллельной плоскости).

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость ей параллельную и притом только одну.

II свойство (свойство трёх параллельных плоскостей).

Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

III свойство (пересечение параллельных плоскостей прямой).

Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

IV свойство (свойство прямых, высекаемых на параллельных плоскостях).

V свойство (свойство отрезков параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями).

Практическая часть.

Задание 1 (по таблице 10.5).

Применение признака параллельности плоскостей. Решение задачи из таблицы 10.5 по группам.

I группа – задача 1.

II группа – задача 4.

III группа – задача 6.

IV группа – задача 3.

Листы с задачами по готовым чертежам раздать в группы. На доске для каждой группы повесить чертёж, выполненный к их задаче. Время решения задачи – 5-7 минут. Решение задачи оглашает один представитель группы у доски по готовому чертежу.

Задание 2 (по таблице 10.6).

Применение свойств параллельных плоскостей. Решение задачи из таблицы 10.6 по группам.

I группа – задача 1.

II группа – задача 2.

III группа – задача 6.

IV группа – задача 7.

Время выполнения – 5-7 минут.

Задачу выполняют все ученики группы на листочках, подписывают их и сдают на проверку учителю.

Задание №3. С учебника Шыныбекова А.Н.

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н.

Контрольные вопросы:

Первое свойство параллельности плоскостей.

Третье свойство параллельности.

Пятое свойство параллельности.

Задание СРС: доказать второе свойство параллельности плоскостей.

Тема: Параллельное проектирование, его свойства.

1. Параллельное проектирование и его свойства.

2. Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании.

3. Свойства аксонометрии.

4. Аффинные и метрические задачи аксонометрии.

Пусть в пространстве дана некоторая плоскость a и вектор , который ей не параллелен.

Определение 1. Под параллельной проекцией точки М на плоскость a в направлении вектора понимается точка М¢, полученная при пересечении плоскости a и прямой, параллельной и проходящей через М.

Если в пространстве дана некоторая фигура, то, проектируя каждую ее точку, мы получим параллельную проекцию этой фигуры на плоскость .

Параллельное проектирование обладает следующими свойствами.

1. Коллинеарные точки отображаются в коллинеарные и сохраняется их простое отношение.

2. Прямая проектируется в прямую, отрезок – в отрезок, луч – в луч.

3. Параллельные прямые отображаются либо в параллельные прямые, либо в одну прямую.

4. Сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.

Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании

Определение. Фигура F1 плоскости изображения, подобная F¢, называется изображением фигуры F при параллельном проектировании.

Введем понятие аффинного отображения одной плоскости на другую.

Взаимно однозначное отображение плоскости a на плоскость b называется аффинным, если при этом отображении коллинеарные точки отображаются в коллинеарные и сохраняется простое отношение точек.

Основное свойство аффинных отображений.

Пусть на плоскости a дан аффинный репер R, а на плоскости b - аффинный репер R¢. Тогда существует единственное аффинное отображение плоскости a на плоскость b, при котором репер R отображается в репер R¢.

Будем считать, что фигура F плоскости a аффинно эквивалентна фигуре F¢ плоскости b, если существует аффинное отображение a на b, при котором образом F служит фигура F¢.

Из основного свойства аффинных отображений следует, что два треугольника, один из которых принадлежит плоскости a, а другой плоскости b, аффинно эквивалентны.

Два четырехугольника АВСD и A¢B¢C¢D¢, один из которых принадлежит плоскости a, а другой плоскости b, аффинно эквивалентны в том и только в том случае, когда (АС,О) = (A¢C¢,O¢), (BD,O) = (B¢D¢,O¢), где О и O' - соответственно точки пересечения их диагоналей AC и BD, А¢С¢ и В¢D¢.

Доказательства этого утверждения проводится дословно так же, как и в случае аффинных преобразований плоскости.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Фигура F1 плоскости b служит изображением фигуры F плоскости a в ом и только в том случае, когда они аффинно эквивалентны.

Треугольник изображается треугольником.

Четырехугольник – четырехугольником, точка пересечения диагоналей которого делит диагонали в том же отношении, что и у оригинала.

Поэтому прямоугольник, квадрат, ромб и параллелограмм изображаются параллелограммом.

Трапеция изображается трапецией, отношение оснований которой совпадает с отношением оснований оригинала.

Произвольный n – угольник изображается n – угольником. Рассмотрим пятиугольник ABCDE плоскости a, который изображается пятиугольником A1B1C1D1E1 плоскости b. Треугольник ABC изображается произвольным треугольником A1B1C1, а точки D1E1

строятся следующими образом: точки пересечения диагонали A1C1 с диагоналями B1E1 и B1D1делит их в том же отношении, что и у оригинала.

Так как эллипс и окружности аффинно эквивалентны, то окружность изображается эллипсом, а ее перпендикулярные диаметры – сопряженными диаметрами эллипс, а центр - центром.

Теорема Польке – Шварца. Вершины любого четырехугольника A1B1C1D1 плоскости b, заданные в определенном порядке служат изображением аффинного репера, равного данному R(A,B,C,D).

Задание. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.52-53 №198-206

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н. стр 52-53 №207-209

Контрольные вопросы:

Что такое параллельное проектирование?

Какими свойствами обладает параллельное проектирование?

Как вычисляется площадь ортогональной проекции многоугольника?

Задание СРС: Постройте изображение знакомых вам многоугольников.

Тема: Изображение пространственных фигур на плоскости.

Историческая справка о проективной геометрии, параллельном проецировании.

Параллельная проекция всем хорошо знакома. Солнце находится от нас так далеко, что его лучи в любой момент времени можно считать практически параллельными. Поэтому тень от любого предмета на дороге или стене дома представляет собой проекцию этого предмета на плоскость дороги или стены параллельно лучам солнца.

Так какие же свойства фигур сохраняются при параллельном проецировании?

А какие не сохраняются?

При параллельном проецировании сохраняются следующие свойства фигур:

Свойство фигуры быть точкой, прямой и плоскостью.

Свойство фигур иметь пересечение.

Деление отрезка в данном отношении.

Параллельность прямых и плоскостей.

Свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией.

Отношение длин параллельных отрезков.

Отношение площадей двух фигур.

При параллельном проецировании не сохраняются следующие свойства фигур:

Свойство прямых и плоскостей образовывать между собой углы определенной градусной меры (в частности быть взаимно перпендикулярными).

Отношение длин не параллельных отрезков.

Отношение величин углов между прямыми (в частности, свойство луча быть биссектрисой угла).

Проекция точки есть точка.

Проекция прямой есть прямая (рис.3).

Проекция отрезка есть отрезок ( рис.4).

Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой (рис.5).

Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам (рис.6).

Теперь выясним как изображаются фигуры в аксонометрической проекции. По рисунку попробуйте сформулировать алгоритм построения произвольной плоской фигуры с помощью параллельного проектирования.

А теперь поговорим об изображении определённых плоских фигур.

Изображение отрезка

Произвольный отрезок на чертеже можно считать изображением данного отрезка.

Изображение треугольника

В качестве изображения данного треугольника на чертеже можно брать произвольный треугольник (рис.8).

Изображением равнобедренного и прямоугольного треугольников может служить разносторонний треугольник (рис.9).

Изображение параллелограмма

Изображением данного параллелограмма можно считать произвольный параллелограмм (рис.10).

В частности изображением прямоугольника, ромба и квадрата будет параллелограмм.

Изображение трапеции

Изображением трапеции является трапеция, у которой основания пропорциональны основаниям самой трапеции (рис. 11).

Изображением равнобедренной трапеции может быть и неравнобедренная трапеция.

Изображение окружности

Параллельной проекцией окружности является эллипс (рис.12).

Эллипс используют при изображении на плоскости цилиндров, конусов, усечённых конусов и сфер.

6. Практическое применение теоретических знаний. Решение задач

Следующим шагом в нашей работе будет этап решения задач, лежащих в основе правильного изображения пространственных фигур в параллельной проекции. (Для решения задач используются возможности интерактивной доски. Текст всех задач лежит на столах учащихся).

Задача 1. Треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A 1 B 1 C 1 . В треугольнике A 1 B 1 C 1 проведены из вершины A 1 биссектриса, медиана и высота. Будут ли проекции этих отрезков соответственно биссектрисой, медианой и высотой?

Задача 2. Построить изображение правильного треугольника и изображение высоты и биссектрисы угла А (решение на рис.13 и рис.14).

Задача 3. Треугольник ABC – параллельная проекция правильного треугольника. Построить проекцию серединного перпендикуляра к стороне АС. Построить проекцию перпендикуляра, проведенного из вершины С к стороне АС .

Задача 4. Трапеция ABCD – параллельная проекция равнобедренной трапеции. Построить ось симметрии и высоту данной трапеции (решение на рис.15 и рис.16).

Задача 5. Дана параллельная проекция ромба. Построить параллельную проекцию прямых, проведённых через середину стороны перпендикулярно диагоналям (решение на рис.17 и рис.18).

Задача 6. Начертите параллельную проекцию ромба, имеющего угол в 60°. Постройте изображение высоты этого ромба, проведенной: а) из вершины острого угла; б) из вершины тупого угла.

Задание. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.53-54 №210-219

Домашняя работа:

Построить с помощью параллельной проекции: а) изображение правильного шестиугольника; б) изображение правильного восьмиугольника.

Дан произвольный треугольник. Считая его изображением прямоугольного треугольника, начертить изображение квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

Контрольные вопросы:

Что называется параллельной проекцией точки, отрезка, треугольника, окружности?

Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков).

Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

Задание СРС: Постройте изображение знакомых вам многоугольников.

Тема: Построение сечений призм и пирамид плоскостью.

Вопросы к классу:

Что значит построить сечение многогранника плоскостью?

Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?

Как задается плоскость?

А) Итак, задача состоит в построении пересечения двух фигур: многогранника и плоскости ( рис.1). Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на следующие вопросы:

- какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

- может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Давайте рассмотрим призму и ее возможные сечения плоскостью ( на модели). Какие многоугольники получаются?

Какой можно сделать вывод? Чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?

[ Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.]

Б) а) Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений многогранников плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод следов.

4. Закрепление материала.

Задача 1. Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.3)).

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.

Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.

Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.

PQRTU – искомое сечение.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.4)).

Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х.

Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.

Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y.

Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задача 3 ( для самостоятельного решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.5)).

Задание 4. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.53-54 №217-219

Домашняя работа:

Контрольные вопросы:

Что называется параллельной проекцией точки, отрезка, треугольника, окружности?

Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

Задание СРС: Постройте изображение знакомых вам многоугольников.

Тема: Построение сечений призм и пирамид плоскостью.

1. Многогранником называется - тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 2. Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости. 3. Через три точки, по теореме о способе задания плоскости: «Через три точки можно провести плоскость и только одну».4. Через прямую и не лежащую на ней плоскость, по теореме «Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и только одну»5. Через две пересекающиеся прямые, по аксиоме «Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и только одну».6. Через две параллельные прямые, по определению «параллельных прямых: прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются».7. Сечение параллельное плоскости основания, диагональное сечение, сечение параллельное плоскости грани. 8. Если перед нами параллелепипед или прямая призма, то это может быть сечение перпендикулярное плоскости основания. Делаем выводы:

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам.

Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру-многоугольник.

Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

Задание № 1 Задание № 2

Постройте сечения призмы по трем данным точкам.

А теперь проверь себя.

Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственное». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

^ На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.

1. Находим точки Р', Q' и R' и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR. Например, плоскостью МРQ.

2. Построим другое вспомогательное сечение пирамиды плоскостью определяемой двумя пересекающимися прямыми, одна из которых — это прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.

3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р'Q' и R'С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.

4 В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим точку F'=PQ пересекается MF.

5. Так как точка F' лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости PQR. Тогда и прямая RF, лежит в плоскости PQR. Проводим прямую RF', и находим точку С'=RF' пересекается МС. Точка С', таким образом, лежит и на прямой МС, и в плоскости PQR, т. е. она является следом плоскости PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).

6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C'Q, D', D'R, А', А'Р, РС'. Четырехугольник РС'D'А' — искомое сечение.

^ Задание № 3 Построить сечение призмы по трем данным точкам самостоятельно.

Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q. 1. Точки P и R лежат в одной плоскости, проведём прямую PR.2. Прямая PR лежит в плоскости AA’B’B, точка Q лежит в плоскости DD’C’C, параллельной AA’B’B. 3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, получим точку K ^ Почему мы уверены, что все делаем правильно? Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны 4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF. 7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.8. Проведём прямую параллельную прямой RF, через точку Q, получим точку M.9. Проведем PM10. Полученный шестиугольник является искомым сечением.

Почему мы уверены, что все делаем правильно? Аксиома: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. ^ Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Задание № 4 Постройте сечение куба, по трем данным точкам, а потом проверьте себя, кликнув по этому рисунку

Задача №5 ( для самостоятельного решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.5)).

Задание 4. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.53-54 №217-219

Домашняя работа:

Контрольные вопросы:

1. Что называется параллельной проекцией точки, отрезка, треугольника, окружности?

2. Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков).

3. Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

Задание СРС: Постройте изображение знакомых вам многоугольников.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен90°.

В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле , который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.

Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые a и b обозначают a ⊥ b.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая перпендикулярна к этой прямой.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как a ⊥ α.

Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярно данной плоскости, притом только одна.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Задания. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №110-119

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №120-122

Контрольные вопросы:

Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

Какую точку называем основанием перпендикуляра?

Что нужно понимать под расстоянием между: а) точкой и прямой; б) фигурами; в) параллельными плоскостями; г) прямой и плоскостью?

Что такое линейный угол двухгранного угла?

Задание СРС: Из двух листов плотной бумаги сделайте модель взаимно перпендикулярных плоскостей

Тема: Свойства п ерпендикулярных прямой и плоскости

Теорема 1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство. Пусть а 1 и а 2 — две параллельные прямые и — плоскость, перпендикулярная прямой а 1 (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а 2 .

Проведем через точку A 2 пересечения прямой а 2 с плоскостью произвольную прямую x 2 в плоскости . Проведем в плоскости через точку А пересечения прямой а с прямую х1, параллельную прямой х 2 . Так как прямая а, перпендикулярна плоскости , то прямые а и х перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а 2 и х 2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости . А это значит, что прямая а 2 перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

Задача1. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости .

Решение. Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые b и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости и , перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости .

Теорема 2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство. Пусть а перпендикулярные плоскости (рис. 360). Допустим, что прямые а и b не параллельны.

Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую b', параллельную прямой а. Прямая b' перпендикулярна плоскости (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых b и b' с плоскостью . Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и b'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Задания. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №123-130

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №131-132

Контрольные вопросы:

Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

Какую точку называем основанием перпендикуляра?

Что такое линейный угол двухгранного угла?

Задание СРС: Из двух листов плотной бумаги сделайте модель взаимно перпендикулярных плоскостей

Тема: Свойства п ерпендикулярных прямой и плоскости

Дано: Рисунок. Точка М лежит вне плоскости АВС.АВСЕ – прямоугольник.

Дано: Рисунок. Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС).АС = 6 дм. ВСА = 90°, МАВ = 60°, САВ = 30°.

Задача № 3[3] ( дополнительная). (Слайд 18)

Задание №3. Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед, (рисунок 6)АD = 9дм, DС = 8дм, DВ 1 = 17дм

Это математический диктант (6 минут).

Две прямые называются перпендикулярными, если .

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она.

Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они .

В кубе (рисунок 7) укажите ребра, перпендикулярные плоскости (АВВ 1 ).

Дано: АВСD – прямоугольник, (рисунок 8) КА – прямая, перпендикулярная плоскости (АВС).Доказать: КВ ВС.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если .

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости .

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая .

В кубе (рисунок 7) укажите ребра, перпендикулярные плоскости (А 1 С 1 В 1 ).

Дано: АВСD – квадрат, (рисунок 9) МВ – прямая, перпендикулярная плоскости (АВС).Доказать: МС СD.

Задания. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №133-137

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №138-139

Контрольные вопросы:

Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

Какую точку называем основанием перпендикуляра?

Что такое линейный угол двухгранного угла?

Задание СРС: Из двух листов плотной бумаги сделайте модель взаимно перпендикулярных плоскостей

Тема: Перпендикуляр и наклонная

Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной , проведенной из данной точки к данной плоскости , называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок , соединяющий основания перпендикуляра и наклойной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной .

На рисунке 361 из точки А проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В — основание перпендикуляра,'точка С — основание наклонной, ВС — проекция наклонной АС на плоскость .

Задача (26). Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

Решение. Пусть а — данная прямая и — данная плоскость (рис. 362). Возьмем на прямой а две произвольные точки X и Y. Их расстояния до плоскости — это длины перпендикуляров XX' и YY', опущенных на эту плоскость. По теореме 17.4 прямые XX' и YY' параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость по прямой X'Y'. Прямая а параллельна прямой X'Y', так как не пересекает содержащую ее плоскость .

Итак, у четырехугольника XX'Y'Y противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значит, XX' = YY'.

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.

Точно так же, как в решении задачи 26, доказывается, что расстояния от любых двух точек плоскости до параллельной плоскости равны. В связи с этим расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Задания. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №133-137

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №138-139

Контрольные вопросы:

Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

Какую точку называем основанием перпендикуляра?

Что такое линейный угол двухгранного угла?

Задание СРС: Из двух листов плотной бумаги сделайте модель взаимно перпендикулярных плоскостей

Тема: Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости.

ЗАДАЧА.Обозначим основание перпендикуляра опущенного из точки М на плоскость треугольника АВС точкой О. Тогда из треугольника АОМ - прямоугольный находим АМ=корень из (100-36)=8Так как в основании лежит равносторонний трейгольник, то точка О является точкой пересечения медиан (высот, биссектрисс) Тогда высоа АН=3/2АМ=12Из треугольника АНВ - прямоугольный находим:x^2=0.25x^2+1440.75x^2=144x^2=192x= корень из 192=8 корней из3; сторона треугольника АВС

Задания для самостоятельной работы:

1) Прямая CM перпендикулярна к плоскости прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С. Найдите расстояние от точки М до стороны АВ, если АС=3см, ВС=4см, СМ=1 см__2)В равнобедренном треугольнике МНК, МН=NK=5см, MK=6см. Точка D находится на расстоянии √10 см от плоскости треугольника MNK и на одинаковом расстоянии от его сторон. Найдите это расстояние.

3) В треугольнике ABC дано: AB=5см, AC=7см, ВС=6см. Прямая AD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD=5см.

4)Через катет AB прямоугольного равнобедренного треугольника ABC проведена плоскость a (альфа), образующая с плоскостью треугольника угол в 45 градусов. Найдите расстояние от точки С до плоскости a (альфа), если АС=2см

5)Точка М находится на расстоянии 6 см от плоскости равностороннего треугольника АВС и на 10см от вершин этого треугольника. Найдите длину стороны треугольника АВС

Задания. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №133-137

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н. стр.32-33 №138-139

Контрольные вопросы:

Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

Какую точку называем основанием перпендикуляра?

Что такое линейный угол двухгранного угла?

Задание СРС: Из двух листов плотной бумаги сделайте модель взаимно перпендикулярных плоскостей

Тема: Теорема о трех перпендикулярах.

Формулировка теоремы о трех перпендикулярах

Теорема Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной (рис. 1).

Теорема Обратная теореме о трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Примеры решения задач

Задание. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая , перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Доказательство. 1) Так как радиус перпендикулярен стороне треугольника (рис. 2), то, согласно теореме о трех перпендикулярах, отрезок перпендикулярен этой стороне.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора

3) Аналогично, можно показать, что

Что и требовалось доказать

Задания. С учебника Шыныбекова А.Н. стр.38-39 №140-149

Домашняя работа: С учебника Шыныбекова А.Н. стр.38-39 №150-152

Контрольные вопросы:

Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

Какую точку называем основанием перпендикуляра?

Что такое линейный угол двухгранного угла?

Задание СРС: Из двух листов плотной бумаги сделайте модель взаимно перпендикулярных плоскостей

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎