2.5 Подгруппы группы. Минимальная подгруппа. Системы образующих
Рассмотрев некоторые элементарные свойства групп, перейдем к анализу взаимосвязей между различными группами. Такой анализ мы начнем с групп с совпадающими операциями. Это приводит к понятию подгруппы группы. Рассмотрим две группы , .
Определение. Группа называется подгруппой группы , если и групповые операции и совпадают на множестве .
Утверждение. Для того чтобы непустое подмножество группы было подгруппой, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
если (единичный элемент группы принадлежит подгруппе );
(существует обратный элемент).
Пример 1. Пусть – аддитивная группа целых чисел. В ней можно выделить ряд подгрупп:
1. – подгруппу чётных чисел. Легко проверить, что множество с заданной операцией сложения образует группу:
сумма двух чётных чисел – чётное число;
операция сложения чётных чисел – ассоциативна;
единичным элементом является нуль – чётное число;
число, обратное чётному числу – чётное число.
2. – подгруппу чисел кратных ;
3. – подгруппу, содержащую только нуль;
4. – подгруппу целых чисел.
Пример 2. Рассмотрим аддитивную группу рациональных чисел . В ней можно выделить следующие подгруппы:
подгруппу целых чисел ;
все подгруппы аддитивной группы целых чисел;
рациональные числа, представимые в виде дробей с нечётными знаменателями: если знаменатели дробей и нечётны, то и их сумма – дробь – имеет нечетный знаменатель, нуль можно представить в виде дроби с нечётным знаменателем , а число противоположное рациональному числу с нечётным знаменателем есть тоже число со знаком «минус», т.е. также может быть представлено числом с нечётным знаменателем.
Замечание. Мы не можем утверждать, что дроби с нечётными знаменателями образуют подгруппу, поскольку любую такую дробь можно представить в виде дроби с чётным знаменателем: например, дробь можно записать в виде . Следовательно, хотя в действительности мы имеем в виду дроби с нечётными знаменателями, следует применять лишь приведённое выше точное название подгруппы.
Пример 3. Рассмотрим мультипликативную группу вещественных чисел, отличных от нуля . В ней можно выделить следующие подгруппы:
мультипликативную группу положительных вещественных чисел : произведение двух положительных вещественных чисел положительно (и вещественно), единица – число положительное, число, обратное положительному, также положительно;
подгруппу, состоящую из чисел , : произведение любых двух чисел из множества равно либо , либо . Каждое из двух чисел обратно самому себе.
Замечание. 1. В любой группе можно выделить по крайней мере две подгруппы:
–подгруппу, содержащую только один единичный элемент.
–подгруппу, совпадающую с самой группой.
2. В общем случае количество выделяемых подгрупп в группе зависит от мощности группы . Если и множество – конечно, то конечно и количество выделяемых подгрупп. Если – бесконечно, то количество выделяемых подгрупп может быть как конечно, так и бесконечно.
Определение. Подгруппа называется собственной подгруппой, если: и .
В противном случае подгруппа называется несобственной илитривиальной. Итак, – тривиальные подгруппы любой группы .
Минимальная подгруппа. Пусть произвольное подмножество множества группы , попробуем выбрать подгруппу группы , содержащую и такую, что для всякой подгруппы из того, что будет вытекать включение , т.е. – минимальная подгруппа, содержащая множество .
Лемма. Двух минимальных подгрупп и , содержащих , не существует.
Доказательство. Действительно, если и , где , – две минимальные подгруппы, то из того, что , а из того, что , откуда следует, что .
Системы образующих. Пусть – некоторая группа, и существует семейство подгрупп < , >группы G, т.е. .
Теорема. Пересечение любого семейства подгрупп группы G является подгруппой.
Доказательство. Пусть e – единичный элемент группы G, тогда свойства:
характеризующие всякую подгруппу, выполнены в , т.к. они выполнены в каждой из подгрупп в отдельности. Это свойство групп позволяет находить в любой группе "наименьшую" или "минимальную" подгруппу, содержащую заданное множество элементов группы G. Рассмотрим множество элементов группы G. Наименьшая подгруппа, которой принадлежат эти элементы, содержится во всякой другой подгруппе, включающей в себя помимо элементов множества S, еще какие-то другие элементы группы .
Выберем теперь в качестве семейства все те подгруппы, которые содержат данное множество S, тогда их пересечение
и будет минимальной "наименьшей" подгруппой, содержащей множество S.
Определение. Подгруппа , определяемая в виде (2.20), называется минимальной подгруппой, содержащей множество S.
Замечание. На первый взгляд минимальная подгруппа задается неконструктивно, поскольку необходимо перебирать все подгруппы , содержащие заданное множество S, а затем найти их пересечение. Необходимости в этом, однако, нет. Покажем это.
Пусть . Поскольку подгруппа содержит элементы a, b, c, то три элемента этой подгруппы уже известны. Кроме того, мы знаем, что подгруппе принадлежит единичный элемент e. Из обобщенной ассоциативности следует, что вместе с каждым из элементов a, b, c подгруппе принадлежат и все (целые) степени ее элементов, а так же все произведения степеней. Следовательно, подгруппа состоит из элементов вида:
где – целые числа.
Замечание. 1. Некоторые из произведений вида (2.21) могут не содержать какого либо из элементов , но их также можно представить в виде (2.21), положив соответствующие показатели степени равными нулю.
2. Единичный элемент e также можно представить в виде (2.21), положив все показатели степени равными нулю.
Вывод. Подгруппа , порожденная элементами множества , состоит из произведений степеней образующих элементов вида (2.20).
Сформулируем этот вывод в виде следующего утверждения.
Утверждение. Минимальная подгруппа группы G совпадает с множеством T, состоящим из единичного элемента e и всевозможных произведений:
Доказательство. Если , следовательно и если то множество T является подгруппой в G. С другой стороны, каждая подгруппа H, содержащая все , должна содержать все их обратные и, стало быть, все их произведения вида . Поэтому и T совпадает с пересечением всех этих подгрупп.
Замечание. Далеко не все произведения будут различными элементами подгруппы , даже если условиться заменять все встречающиеся пары , взаимно обратных элементов единичным элементом. В общем случае при вопрос о равенстве произведений достаточно сложен.
Определение. Если подгруппа , порожденная элементами множества S, совпадает со всей группой G, то элементы множества S называютсясистемой образующих элементов группы .
Определение. Если множество S конечно, то группа , порожденная множеством S, называется конечнопорожденной группой.
Утверждение. Каждая группа G порождается какой-нибудь системой образующих S.
Доказательство. Пусть G – группа, порождённая конечным множеством S своих элементов. Удаляя из S "лишние" элементы, которые записываются в виде произведения оставшихся и их обратных, мы придем к минимальной системе образующих группы G, где . Это означает, что , но , если система образующих получена из удалением хотя бы одного элемента. Пусть . Тогда вместо пишут также .
Пример 1. Пусть G – аддитивная группа целых чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппу группы G, порожденную множеством S, если:
Решение. 1. Если S=, то ;
Если S=, то . Ясно, что все элементы подгруппы четные т.к. общий элемент этой подгруппы можно представить в виде четного числа . Естественно, возникает вопрос, все ли четные числа содержатся в данной подгруппе? Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, принадлежит ли число два этой подгруппе. Если число два принадлежит подгруппе , то и все его степени (т.е. четные числа) принадлежат этой подгруппе. . Пусть Тогда имеем , следовательно, и подгруппа будет содержать все элементы, порожденные числом два, т.е. все четные числа.
Пример 2. Пусть G – мультипликативная группа положительных вещественных чисел, т.е. . Необходимо найти минимальную подгруппу группы G, порожденную множеством S, если: 1. , 2. .
Решение. 1. Если , то ;
Пример 3. Пусть – аддитивная группа рациональных чисел. Необходимо найти минимальную подгруппу группы G, порожденную множеством .
Решение. В минимальную подгруппу должны входить все целые кратные рационального числа . Кроме того, подгруппе принадлежит любое целое число четвертых, восьмых и т.д. Следовательно, эта подгруппа содержит все дроби, в знаменатель которых не входят никакие простые числа, кроме 2 (т.е. в знаменателе могут стоять лишь степени числа 2). Но такие дроби образуют подгруппу, содержащую все заданные числа. Следовательно, минимальная подгруппа состоит из дробей, знаменателями которых служит степень числа 2.