Задачник по линейной Алгебре и Мат Анализу / Часть 6

6.1. Найти и изобразить области определения следующих функций:

в) u=ln(x+y);

г) u=x+arctgy;

е) u=arcsin(y/x)

и) u=ln(x 2 +y)

к) u=1/(x 2 +y 2 );

м) u=ln(xyz);

6.2. Построить линии уровня функций и выяснить характер изображаемых ими поверхностей:

а) z=x+y;

б) z=x 2 + y 2

в) z = x 2 –y 2 ;

д)z=(1+x+y) 2 ;

е) z=1–|x|–|y|;

ж) z=y/x 2 ;

з) z=y/ ;

6.3. Найти поверхности уровня следующих функций:

а) u=x+y+z;

б) u=x 2 +y 2 +z 2 ;

в) u=x 2 +y 2 –z 2 .

6.4. Найти пределы:

6.5. Найти точки разрыва функций:

6.6. Найти частные производные функций:

а) z=x 3 +y 3 –3axy;

в) z=y/x;

д) z=x/ ;

ж) z=arctg(y/x);

з) z=x y ;

и) z=e sin ( y / x ) ;

к) z=arcsin ;

м) u=(xy) z ;

н) u=z xy .

6.7. Показать, что , если z=(x 2 +xy+y 2 ).

6.8. Показать, что , если z=xy+ xe ( y / x ) .

6.9. Показать, что , если u=(x–y)(y–z)(z–x).

Для функции f(x,y)=x 2 y найти полное приращение и полный дифференциал в точке (1;2); сравнить их, если: а) x=1, y=2,; б) x=0,1, y=0,2.

Найти полные дифференциалы следующих функций:

а) z=x 3 + y 3 –3xy;

б) z=x 2 y 3 ;

г) z=sin 2 x+cos 2 y;

д) z=yx y ;

е) z=ln(x 2 +y 2 )

ж) z=arctg +arctg ;

з) z=lntg(y/x);

и) u=xyz;

ычислить приближенно с помощью полного дифференциала подходящей функции:

6.13. z=x/y; x=e t ; y=lnt; =?

6.14. u=lnsin ; x=3t 2 ; y= ; =?

6.15. u=xyz; x=t 2 +1; y=lnt; z=tgt; =?

6.16. u= ; x=Rcost; y=Rsint; z=H; =?

6.17. z=arctg ; y=x 2 ; =?, =?

6.18. z=arctg ; x=usinv; y=ucosv; =?, =?

6.19. z=x 2 lny; x= ; y=3u–2v; =?, =?

6.20. Показать, что функция z=arctg(x/y), где x=u+v, y=u–v, удовлетворяет соотношению .

6.21. Показать, что функция z=y(x 2 –y 2 ) удовлетворяет уравнению .

6.22. Показать, что функция u=x k F , где F дифференциальная функция, удовлетворяет уравнению .

а) x 3 y–y 3 x=a 4 ;

б) xe y +ye x –e xy =0;

в) sin(xy)–e xy –x 2 y=0;

г) xy–lny=a;

д) y x =x y .

6.24. Найти и .

б) x 2 –2y 2 +z 2 –4x+2z–5=0;

в) z 3 +3xyz=a 3 ;

г) e z –xyz=0.

6.25. Найти полный дифференциал функции z, определяемой уравнением cos 2 x+cos 2 y+cos 2 z=1.

6.26. z=x y . Показать, что .

6.27. z=arctg(x/y). Показать, что .

г) z=sin 2 (ax+by);

е) z= ; ж) z=y ln x .

6.29. =?

6.30. z= ; =?

6.31. z=sin(xy); =?

6.33. а)Показать, что функция удовлетворяет уравнению

б) u=e x (xcosy–ysiny); показать, что .

6.34. u=ln ; показать, что .

6.35. , убедиться, что и что .

6.36. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

6.37. u= ; показать, что .

6.38. u(x,y,z,t)= ; показать, что

6.39. Найти дифференциал второго порядка:

а) z=xy 2 –x 2 y; б) z=ln(x–y); в) z=e xy ; г) u=xyz.

6.40. .

6.41. 3x 2 y 2 +2z 2 xy–2zx 3 +4zy 3 – 4=0. Найти d 2 z в точке (2;1;2).

6.42. Сделать замену переменных x=1/t в выражении x 4 y+2x 3 y+y.

6.43. Преобразовать выражение , полагая x=sint.

6.44. Преобразовать к новым независимым переменным u и v урав-нение , если u=x, v=y/x.

6.45. Уравнение Лапласа преобразовать к полярным координатам r и , полагая x=rcos, y=rsin.

6.46. Преобразовать уравнение , приняв за новые независимые переменные u=x+y, v=y/x и за новую функцию w=z/x.

6.47. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нор-мали к следующим поверхностям в указанных точках:

а) к параболоиду вращения z=x 2 +y 2 в точке (1;–2;5);

б) к конусу x 2 /16+y 2 /9–z 2 /8=0 в точке (4;3;4);

в) к сфере x 2 +y 2 +z 2 =2Rz в точке (Rcos; Rsin; R).

6.48. В каких точках эллипсоида нормаль к нему образует равные углы с осями координат?

6.49. К поверхности x 2 +2y 2 +3z 2 =21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x+4y+6z=0.

6.50. Функцию f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy–yz–4x–3y–z+4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1;1).

6.51. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включительно функцию f(x,y)=e x siny.

6.52. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно функцию f(x,y)=x y .

Исследовать на экстремум следующие функции:

6.53. z=(x–1) 2 +2y 2 .

6.54. z=(x–1) 2 –2y 2 .

6.55. z=x 2 +xy+y 2 –2x–y.

6.56. z=x 3 y 2 (6–x–y); (x>0, y>0).

6.57. z=x 4 +y 4 –2x 2 +4xy–2y 2 .

6.58. z=(x 2 +y 2 ) .

6.59. u=x 2 +y 2 +z 2 –xy+x–2z.

6.60. u=x+y 2 /(4x)+z 2 /y+2/z; (x>0, y>0, z>0).

Определить условные экстремумы функций:

6.61. z=xy при x+y=1.

6.62. z=x+2y при x 2 +y 2 =5.

6.63. z=cos 2 x+cos 2 y при y–x=/4.

6.64. u=x–2y+2z при x 2 +y 2 +z 2 =9.

6.65. u=xy 2 z 3 при x+y+z=12; (x>0, y>0, z>0).

6.66. u=xyz при x+y+z=5, xy+yz+zx=8.

6.67. Определить наибольшее значение функции z=1+x+2y в областях: а) x0; y0; x+y1; б) x0; y0; x–y1.

6.68. Определить наибольшие и наименьшие значения функций а) z=x 2 y и б) z=x 2 –y 2 в области x 2 +y 2 1.

6.69. Определите наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

6.70. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z=sinx+siny+sin(x+y) в области: 0x/2; 0y/2.

6.71. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z=x 3 +y 3 –3xy в области: 0x2; –1y2.

6.72. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.

6.73. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность.

6.74. Из всех треугольников данного периметра 2p найти тот, который имеет наибольшую площадь.

6.75. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью поверхности S, имеющий наибольший объем.

6.76. На плоскости XOY найти точку M(x,y), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых: x=0, y=0, x–y–1=0 была наименьшей.

6.1. а) Единичный круг с центром в начале координат, включая окружность (x 2 +y 2 1); б) биссектриса y=x I и III координатных углов; в) полуплоскость, расположенная над прямой х+у=0 (х+у>0); г) полоса, заключенная между прямыми у=1, включая эти прямые (–1у1); д) квадрат, образованный отрезками прямых х=1, у=1, включая его стороны (–1x1, –1y1); е) часть плоскости, примыкающая к оси OX и заключенная между прямыми y=x, включая эти прямые и исключая начало координат (–xyx при x>0, xy–x при x<0); ж) две полуполосы х2, –2у2 и х–2, –2у2; з) полуполосы 2nх(2n1), у0 и (2n1)х(2n2), у0, где n – целое число; и) часть плоскости, расположенная выше параболы у= –х 2 (х 2 +у>0); к) вся плоскость хоу, за исключением начала координат; л) I октант (включая границу); м) I, III, VI и VIII октанты, исключая границу; н) шар радиуса 1 с центром в начале координат, включая его поверхность. 6.2. а) Плоскость; линии уровня – прямые, параллельные прямой х+у=0; б) параболоид вращения; линия уровня – концентрические окружности с центром в начале координат;

в) гиперболический параболоид; линии уровня – равносторонние гиперболы г) конус 2-го порядка; линия уровня – равносторонние гиперболы;

д) параболический цилиндр, образующие которого параллельны прямой х+у+1=0; линии уровня – параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды; линии уровня – контуры квадратов; ж) линии уровня – параболы у=сх 2 ; з) линии уровня – параболы у=с ; и) линии уровня – окружности с(х 2 +у 2 )=2х. 6.3. а) Плоскости, параллельные плоскости x+y+z=0; б) концентрические сферы с центром в начале координат; в) при u>0 однополосные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ; при u<0 двуполостные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ; оба семейства поверхностей разделяет конус x 2 +y 2 –z 2 =0 (u=0). 6.4. а) 0; б) 2; в) e k ; г) не существует; д) не существует. 6.5. а) О(0;0); б) все точки прямой х=у; в) все точки окружности х 2 +у 2 =1; г) все точки координатных осей. 6.6. а) =3(х 2 –ay), =3(у 2 –ах); б) , ; в) , ; г) , ; д) , ; е) , ; ж) , ; з) =yx y –1 , =x y lnx; и) ; ; к) , ; л) =

, ; м) , , ; н) , , . 6.10. f= =4x+y+2(x) 2 +2xy+(x) 2 y, df=4dx+dy; а) f–df=8; б) f–df=0,062. 6.11. а) dz=3(x 2 –y)dx+3(y 2 –x)dy; б) dz=2xy 3 dx+3x 2 y 2 dy; в) dz=  (ydx–xdy); г) dz=sin2xdx–sin2ydy; д) dz=y 2 x y –1 dx+x y (1+ylnx)dy; e) dz= = ; ж) dz=0; з) dz= (xdy–ydx); и) du=yzdx+zxdy+xydz; к) du= ; л) du= ; м) du= . 6.12. а) 1,00; б) 4,998; в) 1,08; г) 0,005. 6.13. . 6.14. . 6.15. . 6.16. =0. 6.17. ; . 6.18. =0; =1. 6.19. ; . 6.23. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 6.24. а) , ; б) , ; в) , ; г) , . 6.25. . 6.28. а) ,

, ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , ; е) , , ; ж) , , . 6.29. . 6.30. . 6.31. –x(2sin(xy)+xycos(xy)). 6.32. (x 2 y 2 z 2 +3xyz+1)e xyz . 6.39. а) –2ydx 2 +4(y–x)dxdy+ +2xdy 2 ; б) ; в) e xy ((ydx+xdy) 2 +2dxdy); г) 2(zdxdy+ydxdz+xdydz).