"Технологические" задачи и сюжетные задачи по комбинаторике в классах с углубленным изучением математики

Комбинаторика в настоящее время занимает одно из важных мест в современном школьном образовании. «В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматриваются лишь как средство для подсчета вероятности…. Но комбинаторика ставит и другие цели: в первую очередь – это развитие мышления и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера» [3. С.18].

Отталкиваясь от акцента И. Баландиной на важнейшую цель преподавания математики, в предлагаемой мною статье, речь пойдет о методике использования «технологических» заданий и сюжетных задач при рассмотрении тем «Перестановки и факториал, сочетания» в классах с углубленным изучением математики.

К «технологическим» заданиям можно отнести все задания на вычисления, преобразования выражений, решение уравнений и неравенств. Сюжетные задачи по комбинаторике гораздо разнообразнее, чем алгебраические. «Решая «новую» задачу, понять, что это «старая», только что решенная задача, но в «новой упаковке», - дело очень трудное!» [2. С. 10]. Но это можно и нужно практиковать, развивая математическое мышление. Задания на составления задач окажут существенную помощь в продвижении на этом пути.

Предлагаю цепочку задач. Переходя от одной к другой задаче, повторяем вроде бы одно и то же понятие. Но помним, что препятствует пониманию однотипное повторение. Значит, нужен такой подход в подборе задач, чтобы все время работала мысль в поиске пути решения, а не работа «бездумно», по аналогии.

Задача № 1.

1. Найти значение выражений: ,

1) найти числитель, знаменатель, разделить;

2) расписать числитель и знаменатель в виде произведения множителей, раскрывая каждый факториал и сократить;

3) из числителя выделить 8! (не расписывая через произведение) и сократить, затем рассуждать как в пункте 2).

Делаем акцент на разумности рассуждений 3-м способом, чтобы облегчить вычисления и подобное применять в других ситуациях в заданиях 1.б), 2, 3.

Заметим, зная способ умножения на 11, результат находим устно.

2. Упростить: .

3. Представить в виде дроби:

(Заметим: не сокращали в решении дробь на ).

Другой путь решения - сократить на вторую дробь. Это можно делать, т.к если бы х=0, то (х-2)!=(-2)! . Факториалов отрицательных чисел не существует. У нас по условию (x-2)! существует.

Вероятно так и поступят большинство из учащихся.

Что пришлось сделать?

Чтобы упростить знаменатель дроби, стоящей после второго знака равенства, нужен там . Поэтому умножали числитель и знаменатель на .

Задача № 2. Сколькими нулями оканчивается число 25! ?

Решение. 25!= ; =10. Так в нашем произведении появляются нули. Значит достаточно узнать, сколько пятерок можно выделить из 25!. Они будут в числах, кратных 5. Это 5; 10; 15; 20; 25. Пятерок будет 6, т.к. число 25 дает две пятерки. Двоек будет гораздо больше, так как в натуральном ряду (а 25! – произведение 1-х двадцати пяти чисел этого ряда) через одно число стоит чётное, т.е. кратное 2.

Ответ: 25! заканчивается шестью нулями.

Задача № 3. Если упростить выражение , то получится дробь, которая в 25 раз меньше числа возможностей обозначения вершин 4х угольника буквами A, B, C, D. Чему равно n?

2. Число различных расположений 4х букв A, B, C, D есть число перестановок, которые можно составить из 4х элементов. P4=4!= =24.

3. < в 25 раз числа 24 (по условию). Составим уравнение , 25n-75=24n+96, n=171.

Из условия следует, что 24 больше . Найдем во сколько раз:

Задача № 4. При встрече группа участников турпохода обменялась рукопожатиями, причем число рукопожатий оказалось равным 78. Найти число участников турпохода и придумать подобную задачу.

Решение. 1) Пусть n-число участников турпохода. Число рукопожатий – это .

не удовлетворяет условию задачи.

2) Рассмотренная выше задача на составление уравнения. Её особенность состоит в том, что неизвестно число элементов, из которых составляются сочетания. Пойдем с конца. Возьмем n=12 (или 14, или 15 …). Находим Значит, придуманная задача должна сводиться к уравнению . Её текст – это задача № 4*.

Задача № 4*. На закончившемся шахматном турнире, проводившемся в один круг(любые два участника встречались между собой 1 раз), было сыграно 66 партий. Сколько человек участвовало в турнире?

Задача № 5. Из ящика, где находится 15 шаров, пронумерованных последовательно от 1 до 15, требуется вынуть три шара. Определить число возможных комбинаций шаров (порядок расположения их в тройке не учитывается).

Решение. Число возможных комбинаций шаров определяется числом сочетаний.

Задача № 5*. Придумать задачу, используя задачу № 5, но добавив в условие, что число возможных комбинаций шаров больше числа шаров в какое-то число раз и при этом количество шаров неизвестно.

Рассуждения. В ящике n шаров. В предыдущей задаче n=15 и равенство подскажет, как подобрать n, чтобы во столько-то раз (пусть в k раз). Уравнение, к которому необходимо прийти: . Отсюда следует, что должно разделиться на n, тогда получим k. Условие новой задачи тогда можно составить. В задаче № 5 число 455 на 15 не делится. Будем испытывать вместо n=15 другие числа.

а) при n=9 . Чтобы разделить на 9 без остатка, необходимо чтобы делилось на 6. Этого не происходит.

б) при n=7 . Имеем: делится на 7. Значит k=5.

Задача. В ящике находятся шары, пронумерованные последовательно, начиная с единицы. Требуется вынуть 3 шара. Определить число возможных комбинаций шаров, если оно должно быть в 5 раз больше числа шаров.

Решение. Пусть в ящике n( ) шаров. Число возможных комбинаций по три шара – это . По условию в 5 раз. Составляем уравнение .

n2<0 (не удовлетворяет условию задачи).

Задача № 6. На плоскости даны 12 точек, расположенные так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести, соединяя точки попарно?

Задача № 7. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира?

Ответ: .

Задача № 8. Сколько различных диагоналей можно провести в выпуклом 10-угольнике?

Решение. Вершины выпуклого многоугольника расположены так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Число прямых, которые можно провести через 10 точек – вершин десятиугольника – будет равно (порядок точек, через которые проходит прямая, не учитывается). В это число входят и стороны многоугольника.

Их нужно исключить.

Ответ: 35 диагоналей.

Задача № 9. На плоскости дано 12 точек, из которых 4 лежат на одной прямой. Кроме того, из рассматриваемых точек никакие 3 не лежат на одной прямой.

1) Сколько различных прямых можно провести через эти точки?

2) Сколько можно построить различных треугольников с вершинами в этих точках?

1) Из всевозможных прямых сливаются в одну прямую. Поэтому искомое число прямых: .

2) Из всевозможных треугольников представляются отрезками одной прямой. Треугольников будет:

Задача № 10. Встретились и обменялись рукопожатиями десять старых друзей. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Задача № 11. Сколько шестибуквенных «слов» можно образовать из слова «КОРОНА» так, чтобы две буквы «О» не стояли рядом?

Решение. Сначала составим всевозможные «слова» из 5 букв: К, Р, О, Н, А. Их будет 5!. Далее в каждой из них вставляем букву «О» и получаем шестибуквенные «слова». Итак, одно пятибуквенное «слово» дает шесть шестибуквенных «слов» коль вставляемое «О» может занимать любое из шести мест. Выясняется, что удовлетворяет нашим условиям только 4 полученных «слов» из 6, так как в двух из них рядом будут стоять две буквы «О» (новая буква «О» – слева или справа от старой). Вывод: каждая из 5! «слов» дает 4 требуемых шестибуквенных «слов». Всего искомое количество составит 4·5! = 480 «слов».

Задача № 12. За круглым столом на именинах Ани рассаживаются семеро человек. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы рядом с Аней сидел Ваня, а напротив Ани сидела Таня (имена у всех собравшихся разные).

Решение. У нас 7 мест за столом. Как рассадим гостей, зависит от того, где сядет Аня. Напротив Ани будет сидеть Таня (то есть это место зафиксировано, его занять другие гости не могут). Справа или слева от Ани садим Ваню (это место тоже зафиксировано). Не зафиксированных мест у нас 5. Значит все (кроме Тани и Вани) могут расположиться 5! способами за столом. Р5 = 5! = 120.

Имеем 120 способов расположения собравшихся за столом, где напротив Ани – Таня и Ваня слева. Столько же способов – если Ваня справа. Всего 120·2 = 240.

«Технологические» задания могут присутствовать в задачах. По содержанию и рациональному способу их решения нужно «технологические» задания выполнить или от них отказаться. Например, в задаче № 2 отказываемся от вычисления 25!, а в задаче № 3 необходимо произвести преобразование выражения для получения дроби.

При решении задач необходимо работать над условием, а не по аналогии. Если в задаче № 7 опустим фразу: « … по две партии», в задаче № 8 не усмотрим, что речь идет не о всех прямых, проходящих через 10 точек, а только о диагоналях и сведем к аналогии с задачей № 6, то решения окажутся неверными.

Из некоторых предложенных в этой статье задач самостоятельную работу и её оценку организуем так:

Вариант I:

1. Задача № 6;
2. Задача № 8;
3. Задача № 9. 1).

Вариант II:

1. Задача № 10;
2. Задача № 7;
3. Задача № 9. 2).

Если выполнены задания:

• 1, 2- выставляется оценка «3»;
• 3 – выставляется оценка «4»;
• 1, 2, 3 – выставляется оценка «5».

Таким образом, на самостоятельной работе или контрольной работе учащиеся выбирают задания в соответствии со своими представлениями об уровне понимания ими темы, включенной в эту работу. А задача учителя состоит в том, чтобы указать количество и какие решенные задачи будут оценены на «удовлетворительно», «хорошо», «отлично». Такой подход позволит учителю более целенаправленно работать с отдельно взятым учеником или группой учащихся на уроках.