Исследуем функции с помощью калькулятора
Как показывает опыт учителей, участвующих в проекте «Школьный калькулятор», применение калькулятора на уроке оказывает на учащихся положительное эмоциональное воздействие, повышает интерес к предмету. Рассмотрим примеры задач, которые имеет смысл включать в упражнения, предлагаемые при изучении алгебры и начал анализа (при решении задач расчеты и графические построения выполнены с помощью калькулятора CASIO fx-9860G SD).
- Функция y = x n , где п — натуральное число и п ≥ 2.
Рекомендуем рассмотреть упражнения, связанные с вычислением значений функции y = x n , построением ее графика и решением по графику уравнений вида x n = а.
- Например, построим с помощью калькулятора график функции у = х 7 для х > 0.
- Задайте формулой массу шарика (деревянного или стеклянного) и рассмотрите график изменения его массы в зависимости от изменения его радиуса.
- Функция y = x –n , где п — натуральное число.
- Функция где п — натуральное число.
- Предложим учащимся построить графики более сложных функций из учебника и сравнить свой эскиз с изображением графика на экране калькулятора.
- Вычислите с точностью до 0,1 (пользуясь таблицами или калькулятором) значения степени 10.
Сначала найдем координаты нескольких точек графика:
В тетради на координатной плоскости отметим точки и точки, симметричные им относительно начала координат. Соединим точки. Сравним построенный график с графиком, полученным на калькуляторе:
Выведем на экран график функции у = х 6 . Он может быть с достаточно высокой точностью перенесен в тетрадь. Точки для х > 0 отмечаются в тетради на координатной плоскости, а поскольку функция у = х 6 — четная, то отмечаются и точки, симметричные им относительно оси у.
В режиме TRACE учащиеся смогут определить значения функции для нескольких значений х и наоборот, то есть решить графически уравнения вида x n = а.
Отметим, что степенные зависимости более высокого порядка (чем линейные и квадратичные) нередко встречаются на практике. Рассмотрим пример.
Масса шара является кубической функцией его радиуса: Плотность дерева — 0,6 г/см 3 , а стекла — 2,4 г/см 3 . Следовательно, масса деревянного шарика вычисляется по формуле а масса стеклянного — по формуле Так выглядит график изменения массы деревянного шарика в зависимости от изменения радиуса R, например, от 0,4 до 5 см:
Теперь можно снимать нужные показания, используя работу калькулятора в разных его режимах.
В данном случае мы получаем функцию Рассмотрим ее график при четном и нечетном п. Для иллюстрации привлечем калькулятор и выполним построения в динамическом режиме для п от –1 до –6 с шагом 1:
Важную роль приобретают графики для выяснения вопроса о существовании корня n–й степени из числа.
1. Если n — нечетное число, то любое число может быть значением функции y = x n . Зависимость х от у обозначают так: — или, переходя к обычным обозначениям, так:
Построим в одной системе координат графики функций и y = x 5 .
Поступим, например, следующим образом: преобразуем а поскольку в графическом режиме возможна только линейная запись, то введем последнее выражение в виде:
Построенные графики симметричны относительно прямой у = х.
2. Если n — четное число, то функция y = x n не является монотонной на области определения, и область ее есть множество [0; +¥). Построим в одной системе координат графики функций y = x 4 и
График функции симметричен относительно прямой у = х для правой ветви графика y = x 4 (расположенной в первой координатной четверти).
В учебнике [1] предлагается выполнить построение графиков функций y = 2 x и на отрезке [–2; 3] с шагом а затем с шагом Мы же, применяя калькулятор, можем этот процесс построений продолжить, выполняя их с шагом на калькуляторе.
Для функции y = 2 x имеем:
Точно так же можно провести исследование функции
Продолжая исследования показательной функции у = а х , построим в одной и той же координатной плоскости несколько графиков, изменяя значения основания а. Так организованное сопоставление поможет лучшему усвоению, а в дальнейшем и применению свойств показательной функции.
— область определения — множество всех действительных чисел; — монотонность: при а > 1 функция у = а х строго возрастает; при 0 < а < 1 функция у = а х строго убывает; — положительность: значения функции у = а х положительны при любом основании а > 0; — множество значений — множество всех положительных чисел.
Выполним с калькулятором упражнение № 45 из учебника [1].
а) 10 1,41 ≈ 25,7; 10 1,42 ≈ 26,3:
б) 10 1,414 ≈ 25,9; 10 1,415 ≈ 26,0:
в) 10 2,23 ≈ 169,8; 10 2,24 ≈ 173,8:
Перед выполнением дальнейших упражнений, предлагаемых учебником, полезно построить в тетради и сравнить с изображением на экране калькулятора графики функций:
а) y = 2 x + 1 и y = 2 x + 1 :
б) y = 2 x – 1 и y = | 2 x – 1 |:
в) y = 2 | x | и y = 2 | x | – 2:
Следуя изложению соответствующего материала в учебнике [2, с. 116], рассмотрим переменную где п = 1, 2, 3. Переменная un имеет предел. Этот предел называют числом е:
Постараемся экспериментально определить несколько знаков числа е, вычисляя значения членов последовательности un при п от 1 до 250, что нам позволяет табличный режим калькулятора:
Заметим, что при п = 75 получается 2,7003, то есть два знака числа е; при п = 166 получается 2,7101, то есть три знака числа е.
Далее поступим иначе — проведем расчеты непосредственно в режиме вычислений при п, равном 100, 1000, 10000 и т.д. (отметим, что можно использовать любую букву, например х). Теперь мы получим девять знаков числа е:
В учебнике [2, с. 119] также отмечается, что равенство справедливо и тогда, когда п стремится к + ∞ , пробегая любые числовые значения, необязательно натуральные. Проиллюстрируем этот факт графически следующим образом:
И, наконец, сообщим учащимся интересный и важный факт, связанный с рассмотрением показательной функции по основанию е.
Сначала напомним, что графики показательных функций при различных значениях а проходят через точку (0; 1):
Если в этой точке к графику провести касательную, то чем больше основание а, тем «круче» касательная. Известно, что при а = 2 угловой коэффициент касательной равен примерно 0,7, а при а = 10 — примерно 2,3.
Понятно, что при непрерывном изменении а от 2 до 10 угловой коэффициент касательной в точке (0; 1) будет непрерывно меняться и найдется такое значение а, при котором этот коэффициент будет равен 1. Такое основание обозначается буквой е.
Привлечем калькулятор к анализу данного факта. Рассмотрим графики функций
y = 2 x , y = 10 x и y = е x
относительно прямой y = x + 1. Для этого воспользуемся режимом ВОХ:
Мы видим, что графики функций y = 2 x , y = 10 x пересекают прямую y = x + 1. При приближении к точке (0; 1) график функции y = е x остается выше прямой y = x + 1 и имеет с ней единственную общую точку (0; 1):
С помощью калькулятора можно вычислять логарифмы по любому основанию а Теперь учащиеся смогут проверить правильность преобразования довольно сложных логарифмических выражений, встречающихся в учебниках. Например,
Так как определение логарифмов основано на понятии степени, то при исследовании логарифмической функции используют свойства показательной функции.
— область определения — множество всех положительных чисел; — монотонность: при а > 1 логарифмическая функция строго возрастает; при 0 < а < 1 логарифмическая функция строго убывает; — область значений — множество всех действительных чисел.
Построим в одной и той же координатной плоскости графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание. С помощью курсора покажем, что графики симметричны относительно прямой у = х.
Сначала рассмотрим поведение функций при а > 1.
При а = 10 имеем:
Теперь рассмотрим поведение функций при 0 < а < 1.
При а = 0,5 воспользуемся формулой перехода от одного основания логарифма к другому основанию: Имеем:
1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10–11 кл. общеобраз. учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; под ред. А.Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 2006. 2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобраз. учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2003.