Самостоятельные и контрольные работы по геометрии 11 класс

Площадь диагонального сечения куба равна 8 см 2 . Найти площадь поверхности куба.

Длины диагоналей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющего общую вершину, равны 5 см, 2 см и 3 см. Найти диагональ параллелепипеда.

АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Через ребро А1В1 и точку М – середину АС проведено сечение, площадь которого 0,75 см 2 . Найти высоту призмы, если сторона её основания равна 2 см.

Площадь поверхности куба равна 18 см 2 . Найти площадь диагонального сечения куба.

Длины диагоналей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющего общую вершину, равны 10 см, 2 см и 2 см. Найти диагональ параллелепипеда.

Стороны основания прямого параллелепипеда равна 2 см 4 см, а синус угла между ними равен . Найти угол, который образует меньшая диагональ параллелепипеда с основанием, если её длина равна 4 см.

В прямоугольном параллелепипеде АВС D А1В1С1 D 1 грань АА1В1В и сечение АВ1С1 D – квадраты. Диагональ параллелепипеда равна 2. Найти объем параллелепипеда.

В прямоугольном параллелепипеде АВС D А1В1С1 D 1 сечение В DD 1В1 – квадрат и образует с сечением АСС1А1 угол 60°. Диагональ параллелепипеда равна 2 . Найти объем параллелепипеда.

В прямоугольном параллелепипеде АВС D А1В1С1 D 1 грань ВВ1С1С – квадрат, D 1С1 = 2 ВС, а диагональ параллелепипеда равна 4 . Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1 . Вершина А1 удалена от прямой ВС на расстояние 5 и от плоскости ВСС1 на расстояние 3. Найти площадь полной поверхности призмы.

Боковое ребро правильной четырехугольной призмы АВС D А1В1С1 D 1 равно 6 м, а сторона основания 6 м. Найти угол между прямыми АВ1 и С D 1.

Концы бокового ребра правильной призмы удалены от противолежащей этому ребру стороны основания на 2 м и 4 м. Найти площадь боковой поверхности призмы.

Выбранный для просмотра документ к.р векторы 11.docx

Контрольная работа по теме

«Метод координат в пространстве»

1. Дан треугольник АВС с вершинами А (11; - 2; - 9 ), В ( 2; 6; - 4 ), С ( 8; - 6; - 8).

а) Найти координаты середины отрезка ВС.

б) Найти длину вектора .

в) Докажите перпендикулярность векторов и .

2. Дан вектор . Найти координаты и длину вектора , если = - 3

3. Даны векторы

а) Найти вектор , если = - 3 .

б) Найти косинус угла между векторами и .

4. Определите вид треугольника АВС, если А (2; - 7; 0 ), В (1; - 5; 4 ), С(4; - 3; 1).

5. Вычислить угол между прямыми АВ и С D , если А(1;2;3), В(-2;-1;0), С(1;0;2), D (-1;-1;1)

Контрольная работа по теме

«Метод координат в пространстве»

1. Дан треугольник АВС с вершинами А (11; - 2; - 9 ), В ( 2; 6; - 4 ), С ( 14; 2; - 10).

а) Найти координаты середины отрезка ВС.

б) Найти длину вектора .

в) Докажите перпендикулярность векторов и .

2. Дан вектор . Найти координаты и длину вектора , если = 2

3. Даны векторы

а) Найти вектор , если = 4 +

б) Найти косинус угла между векторами и .

4. Определите вид треугольника АВС, если А (2; 0; - 1 ), В (3; 4; - 1 ), С(1; 0; 3).

5. Вычислить угол между прямыми АВ и С D , если А(2;3;4), В(-1;-2;0), С(0;1;2), D (-2;-1;1)

Контрольная работа по теме

«Метод координат в пространстве»

1. Дан треугольник АВС с вершинами А (11; - 2; - 9 ), В ( 2; 6; - 4 ), С ( 8; - 6; - 8).

а) Найти координаты середины отрезка ВС.

б) Найти длину вектора .

в) Докажите перпендикулярность векторов и .

2. Дан вектор . Найти координаты и длину вектора , если = - 3

3. Даны векторы

а) Найти вектор , если = - 3 .

б) Найти косинус угла между векторами и .

4. Определите вид треугольника АВС, если А (2; - 7; 0 ), В (1; - 5; 4 ), С(4; - 3; 1).

5. Вычислить угол между прямыми АВ и С D , если А(1;2;3), В(-2;-1;0), С(1;0;2), D (-1;-1;1)

Контрольная работа по теме

«Метод координат в пространстве»

1. Дан треугольник АВС с вершинами А (11; - 2; - 9 ), В ( 2; 6; - 4 ), С ( 14; 2; - 10).

а) Найти координаты середины отрезка ВС.

б) Найти длину вектора .

в) Докажите перпендикулярность векторов и .

2. Дан вектор . Найти координаты и длину вектора , если = 2

3. Даны векторы

а) Найти вектор , если = 4 +

б) Найти косинус угла между векторами и .

4. Определите вид треугольника АВС, если А (2; 0; - 1 ), В (3; 4; - 1 ), С(1; 0; 3).

5. Вычислить угол между прямыми АВ и С D , если А(2;3;4), В(-1;-2;0), С(0;1;2), D (-2;-1;1)

Контрольная работа по теме

«Метод координат в пространстве»

1. Дан треугольник АВС с вершинами А (11; - 2; - 9 ), В ( 2; 6; - 4 ), С ( 8; - 6; - 8).

а) Найти координаты середины отрезка ВС.

б) Найти длину вектора .

в) Докажите перпендикулярность векторов и .

2. Дан вектор . Найти координаты и длину вектора , если = - 3

3. Даны векторы

а) Найти вектор , если = - 3 .

б) Найти косинус угла между векторами и .

4. Определите вид треугольника АВС, если А (2; - 7; 0 ), В (1; - 5; 4 ), С(4; - 3; 1).

5. Вычислить угол между прямыми АВ и С D , если А(1;2;3), В(-2;-1;0), С(1;0;2), D (-1;-1;1)

Контрольная работа по теме

«Метод координат в пространстве»

1. Дан треугольник АВС с вершинами А (11; - 2; - 9 ), В ( 2; 6; - 4 ), С ( 14; 2; - 10).

а) Найти координаты середины отрезка ВС.

б) Найти длину вектора .

в) Докажите перпендикулярность векторов и .

2. Дан вектор . Найти координаты и длину вектора , если = 2

3. Даны векторы

а) Найти вектор , если = 4 +

б) Найти косинус угла между векторами и .

4. Определите вид треугольника АВС, если А (2; 0; - 1 ), В (3; 4; - 1 ), С(1; 0; 3).

5. Вычислить угол между прямыми АВ и С D , если А(2;3;4), В(-1;-2;0), С(0;1;2), D (-2;-1;1)

Выбранный для просмотра документ к.р. Тела вращения..doc

Контрольная работа по теме «Тела вращения»

Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найти площадь сечения конуса, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30° и площадь боковой поверхности конуса.

Поверхность куба с ребром 4 см равна поверхности сферы. Найти радиус сферы.

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60° и площадь боковой поверхности конуса.

Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 1, 2, 3, описана сфера. Найти поверхность сферы.

Контрольная работа по теме «Тела вращения»

Поверхность куба с ребром 4 см равна поверхности сферы. Найти радиус сферы.

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 1, 2, 3, описана сфера. Найти поверхность сферы.

Контрольная работа по теме «Тела вращения»

Поверхность куба с ребром 4 см равна поверхности сферы. Найти радиус сферы.

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 1, 2, 3, описана сфера. Найти поверхность сферы.

Выбранный для просмотра документ к.р. пирамида.doc

Контрольная работа по теме «Пирамида»

1. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 2 м и 6 м и углом между ними 60°. Высота пирамиды 7,8 м. Найти объем пирамиды.

2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 4 м и 12 м, а высота равна 2 м. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

1. Основанием пирамиды служит параллелограмм со сторонами 7 м и 6 м и углом между ними 45°. Высота пирамиды 3,1 м. Найти объем пирамиды.

2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 м и 10 м, а апофема равна 4 м. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

Контрольная работа по теме «Пирамида»

Выбранный для просмотра документ к.р. цилиндр конус сфера.docx

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «Цилиндр. Конус. Сфера»

Вариант 1

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60  . Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45  и площадь боковой поверхности конуса.

Диаметр шара равен 4. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45  к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90  . Диагональ сечения равна 10 см и удалена от оси на 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «Цилиндр. Конус. Сфера»

Вариант 2

Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16  см 2 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Высота конуса равна 6см, угол при вершине осевого сечения равен 90  . Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30  и площадь боковой поверхности конуса.

Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30  к нему, равна 75  см 2 . Найдите диаметр шара.

Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 3 см, и стягивающей дугу 120  . Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 45  . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «Цилиндр. Конус. Сфера»

Вариант 3

Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 25  см 2 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Высота конуса равна 9 см, угол при вершине осевого сечения равен 120  . Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 90  и площадь боковой поверхности конуса.

Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60º к нему, равна 5  см. Найдите диаметр сферы.

Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90  . Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60  . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Домашняя работа

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Радиус основания конуса равен 10 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45  . Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми 30  и площадь боковой поверхности конуса.

Диаметр шара равен 6. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30  к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и плоскости.

В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120  . Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Домашняя работа

Ответы к контрольной работе по теме «Тела вращения», 11 класс

2. 36 см 2 , 72  см 2 .

2. 18 см 2 , 36  см 2 .

2. 162 см 2 , 162  см 2 .

2. 50 см 2 , 100  см 2 .

Цилиндр, конус, шар

Готовимся к контрольной работе по теме «Цилиндр, конус и шар»

Задача 1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания цилиндра равна 36π см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение. Из условия площадь основания цилиндра равна 36π = π R 2 , то есть 36 = R 2 , R =6.

Так как осевое сечение цилиндра – квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания h =2 R =12.

Подставляем найденные величины в формулу полной поверхности цилиндра S = 2π R ( R + h ) = 2π*6*(6+12) = 216π .

Задача 2. Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120º.

а) Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30º.

б) Найти площадь боковой поверхности конуса.

Решение. Из условия угол АРВ равен 120 градусам, значит, угол ОРВ равен 60 градусам, а угол РВО – 30 градусов. По свойству катета, лежащего против угла, равного 30 градусам РО = 0,5 РВ. Образующая РВ = 2*РО = 12см.

а) Найдём площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие РВ и РС, угол между которыми равен 30º. Площадь треугольника РВС равна половине произведения двух сторон РВ и РС на синус угла между ними. Синус же 30 градусов равен 0,5. То есть получаем

S РВС = 0,5*12*12*0,5 =36 см 2 .

б) Найдём площадь боковой поверхности конуса. Для этого надо знать радиус конуса. Его найдём из треугольника РВО по теореме Пифагора

R 2 = ОВ 2 = РВ 2 – ОР 2 = 144 – 36 = 108, R =6 квадратных корней из трёх.

S бок =  Rl =  *6 квадратных корней из трёх*12 = 72*ПИ* квадратный корень из трёх см 2 .

б) 72*ПИ* квадратный корень из трёх

Задача 3. Диаметр шара равен 8. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45º к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Решение. Из условия следует, что радиус ОВ равен 4. В прямоугольном треугольнике ОО 1 В катеты ОО 1 и О 1 В равны. Тогда по теореме Пифагора можно найти их длину

О 1 В 2 + О 1 В 2 =ОВ 2 , 2О 1 В 2 =4 2 , 2О 1 В 2 = 16, О 1 В 2 = 8. О 1 В=2*квадратный корень из двух.

Найдём длину окружности - линии пересечения сферы плоскостью. С = 2*ПИ* R = 2  2* квадратный корень из двух= 4*ПИ*квадратный корень из двух.

Ответ 4  квадратный корень из двух.

Задача 4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 6 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение. Из условия следует, что треугольник ВОС равнобедренный и прямоугольный, значит ОК = ВК = КС = 6:2 =3 см.

По теореме Пифагора найдём радиус основания конуса ОВ, ОК 2 + КВ 2 =ОВ 2 , 3 2 + 3 2 =ОВ 2 ,

В треугольнике РОК угол РКО равен 60 градусам, по условию. Значит угол КРО равен 30 градусам РК = 2*ОК =6 см. Из треугольника РВК найдём образующую РВ по теореме Пифагора РВ 2 =РК 2 +ВК 2 = 6 2 +3 2 = 45. РВ=3.

Площадь боковой поверхности конуса будет равна S бок =  Rl =  *3 *3= 9  см 2 .